Le modèle gravitaire est un modèle mathématique pour le calcul de la distribution du trafic (Distribution des déplacements et Distribution/Choix modal VISEM combinés). On part du principe que les déplacements effectués dans le périmètre de planification sont directement proportionnels au trafic émis et au trafic attiré de toutes les zones et aux valeurs fonctionnelles de la fonction d’utilité entre les zones (Ortúzar 2001).
Le modèle gravitaire calcule une matrice complète des relations Fij à partir des totaux de matrice existants (trafic émis et attirés des différentes zones). Une matrice d’utilité cohérente du périmètre de planification est requise à cet effet.
Le modèle gravitaire fonctionne avec des paramètres de distribution, c.-à-d. avec des valeurs dans la fonction d’utilité décrivant la réaction des usagers par rapport aux distances et au temps. Ces paramètres sont déterminés en comparant la demande des relations O-D résultant du modèle avec la demande comptée pour chaque relation O-D (calibrage).
La capacité d’un modèle à prédire des situations futures (prévision) dépend de sa capacité à également prédire le comportement des usagers par rapport aux impédances du réseau outre la connaissance des données d’entrée futures valables (par exemple volume de trafic futur).
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Forme générale de la formule de distribution
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Logit |
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Kirchhoff |
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BoxCox |
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Combiné |
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TModel |
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avec
On désigne la formule de distribution par fonction d’attraction ou d’utilité, avec les données suivantes.
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Uij |
Valeur de l’utilité entre les zones, par exemple relative à la distance ou au temps de parcours de la zone i vers la zone j. |
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Ei |
Trafic émis zone i |
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Aj |
Trafic attiré zone j |
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kij |
Facteur de normalisation (facteur d’attractivité) pour la relation de la zone i vers la zone j |
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n |
Nombre de zones |
La détermination du facteur de normalisation kij et la formulation de la fonction d’utilité f(Uij) sont essentielles pour les différentes modifications et améliorations.
Il faut choisir le facteur de normalisation kij de telle sorte que les contraintes des modèles de distribution
et
soient satisfaites (au moins approximativement).
Si seule la première contrainte est satisfaite, on parle de contrainte simple selon l’émission. Si seule la seconde contrainte est satisfaite, on parle de contrainte simple selon l’attraction. Si les deux contraintes sont satisfaites simultanément, on parle de contrainte double. En cas de contrainte simple selon l’émission, kij ne dépend que de i, on note donc 
.
Pour des raisons logiques, il faut prévoir autant de paramètres libres que de zones pour la contrainte simple selon l’émission.
Il en résulte la formule
avec les contraintes annexes suivantes pour chaque zone i.
A partir des n contraintes annexes, on peut déterminer tous les 
par substitution dans la fonction de distribution.
Il en résulte
pour Ei ≠ 0
Il en résulte le modèle de distribution à contrainte simple selon l’émission suivant.
pour tous les i, j
Le modèle de distribution à contrainte simple selon l’attraction est dérivé de manière analogue.
pour tous les i, j avec 
L’adaptation du modèle à la réalité (calibrage) en faisant varier les paramètres libres est essentielle.
Les données d’entrée Ei et Aj étant fixes, les seuls paramètres libres restant outre les facteurs de normalisation 
et 
sont les paramètres dans la fonction d’utilité f(Uij).
Dans la mesure où, pour une contrainte double, les deux contraintes [4.1] et [4.2] doivent être satisfaites simultanément, 
= 
doit aussi être valable pour i = j pour les facteurs de normalisation 
et 
. On aboutit rarement à ce résultat dans la pratique, c’est pourquoi une vraie contrainte double peut uniquement être réalisée à travers des modèles itératifs beaucoup plus complexes.
L’éditeur de matrices utilise la procédure dite Multi selon Lohse (Schnabel 1980) comme modèle itératif (La procédure Multi selon Lohse (Schnabel 1980)).
La forme générale de la fonction d’utilité f(Uij) est
Elle est représentée dans les deux illustrations suivantes pour différentes valeurs des paramètres b et c.
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Nota : Veillez à spécifier les fonctions d’utilité de manière appropriée c.-à-d. avec des paramètres appropriés. La spécification dépend entre autres du motif de déplacement et du mode de transport utilisé. Un déplacement vers le lieu de travail est en moyenne plus long qu’un déplacement vers un centre commercial. Cela signifie qu’en fonction de la taille de l’agglomération, la fonction d’utilité pour les déplacements professionnels ne dépend pas ou dans un degré moindre de l’utilité (distance ou temps de parcours). Les déplacements vers un centre commercial dépendent au contraire dans une large mesure de l’utilité. L’utilisation d’un modèle de distribution peut nécessiter la subdivision des déplacements selon les motifs de déplacement. Cela dépend principalement de vos exigences par rapport à la précision et envers la matrice à calculer. Vous pouvez par exemple tirer les données-clés pour la distribution proportionnelle selon les motifs de déplacement de l’enquête MiD (Mobilität in Deutschland, enquête pour le compte du ministère fédéral des transports allemand portant sur « La mobilité en Allemagne » publiée en 2010) ou d’enquêtes de trafic locales. |
Les quatre exemples suivants visualisent des modèles gravitaires avec différents types de contraintes, avec ou sans compensation des totaux marginaux.
Exemple 1 : modèle gravitaire à contrainte simple selon l’émission, avec et sans compensation des totaux marginaux
L’influence du facteur d’attractivité sur le calcul de la distribution des déplacements selon le modèle de distribution dépend du type de « contrainte » du modèle de distribution.
Dans le cas des modèles de distribution à contrainte simple, le trafic émis ou attiré est ajusté aux totaux spécifiés dans le fichier de code. Le facteur d’attractivité influe uniquement sur les trafics émis ou attirés « complémentaires ». Dans ce cas
ou 
avec ki ou kj le facteur d’attractivité de la i-ème ou de la j-ème zone.
Dans le cas du modèle de distribution à contrainte double, l’influence du facteur d’attractivité sur le trafic émis ou attiré dépend du code de format spécifié dans le fichier de code. Si le format de code $GQH est spécifié, le facteur d’attractivité spécifié dans la même ligne que le trafic émis dans le fichier de code modifie ce dernier. Dans ce cas
avec ki le facteur d’attractivité de la i-ème zone.
- Fichier d’entrée utilité
* Numéros de zone
1 2 3 4
* 2.66 1.75 1.99 1.50
* 1 2.08
1.00 0.50 0.33 0.25
* 2 2.33
0.33 0.50 1.00 0.50
* 3 1.41
0.33 0.25 0.33 0.50
* 4 2.08
1.00 0.50 0.33 0.25
* 7.90
*Zone Émission Attraction Facteur Externe
1 10.0000 50.0000 0.50000000 0
2 20.0000 10.0000 1.00000000 0
3 30.0000 20.0000 1.00000000 0
4 40.0000 20.0000 1.00000000 1
On spécifie les paramètres de la manière suivante :
- Fonction d’utilité Combiné (exponentielle)
- Paramètre a = 1, b = 0,5 et c = -1
- Contrainte simple selon l’émission sans compensation des totaux marginaux
- Matrice résultante
* Numéros de zone
1 2 3 4
* 36.76 15.91 30.79 16.55
* 1 10.00
3.11 1.45 2.80 2.64
* 2 20.01
6.76 2.81 4.82 5.62
* 3 30.00
9.97 3.76 7.98 8.29
* 4 40.00
16.92 7.89 15.19 0.00
* 100.01
*Zone Émission Attraction Facteur Externe
1 10.0000 50.0000 0.50000000 0
2 20.0000 10.0000 1.00000000 0
3 30.0000 20.0000 0.30000000 0
4 40.0000 20.0000 1.00000000 1
On spécifie les paramètres de la manière suivante :
- Contrainte simple selon l’émission et compensation des totaux marginaux avec procédure Multi
- Fonction d’utilité Combiné (exponentielle)
- Paramètre a = 1, b = 0,5 et c = -1
- Total normalisé à la moyenne des totaux
- Nb. max. d’itérations = 10, Facteur de qualité = 3
- Résultats
* Numéros de zone
1 2 3 4
* 32.99 13.19 7.92 26.39
* 1 8.04
2.22 0.94 0.56 4.32
* 2 16.10
4.62 1.74 0.93 8.81
* 3 24.16
6.95 2.38 1.57 13.26
* 4 32.19
19.20 8.13 4.86 0.00
* 80.49
Exemple 2 : modèle gravitaire à contrainte simple selon l’émission, avec compensation des totaux marginaux
- Fichier d’entrée utilité
* Numéros de zone
1 2 3 4 5
* 166.183 107.560 88.972 134.710 155.725
* 1 165.571
0.001 22.700 35.183 50.387 57.300
* 2 107.414
22.700 0.001 15.991 31.017 37.705
* 3 90.008
35.926 16.284 0.001 15.153 22.644
* 4 134.633
50.387 31.017 15.153 0.001 38.075
* 5 155.524
57.169 37.558 22.644 38.152 0.001
* 653.150
*Zone Emission Attraction
1 18990.0 18990.0
2 4960.0 4960.0
3 7110.0 7110.0
4 16080.0 16080.0
5 2300.0 2300.0
Le facteur d’attractivité et la propriété de zone externe ne sont pas spécifiés, les valeurs par défaut respectives sont appliquées.
On spécifie les paramètres de la manière suivante :
- Contrainte simple selon l’émission et compensation des totaux marginaux avec procédure Multi
- Fonction d’utilité Combiné (exponentielle)
- Paramètre a = 1, b = 0,5 et c = -1
- Total normalisé au total des émissions
- Nb. max. d’itérations = 10, Facteur de qualité = 3
- Résultats
* Numéros de zone
1 2 3 4 5
* 18990.000 4959.951 7109.758 16080.290 2300.000
* 1 18990.000
18990.000 0.000 0.000 0.000 0.000
* 2 4959.999
0.000 4959.897 0.102 0.000 0.000
* 3 7110.000
0.000 0.054 7109.426 0.520 0.000
* 4 16080.000
0.000 0.000 0.230 16079.770 0.000
* 5 2300.000
0.000 0.000 0.000 0.000 2300.000
* 49439.999
Exemple 3 : modèle gravitaire à contrainte simple selon l’attraction, sans compensation des totaux marginaux
- Fichier d’entrée impédances
* Numéros de zone
1 2 3 4
1.00 0.50 0.33 0.25
0.33 0.50 1.00 0.50
0.33 0.25 0.33 0.50
1.00 0.50 0.33 0.25
*Zone Emission Attraction
1 10 50
2 20 10
3 30 20
4 40 20
On spécifie les paramètres de la manière suivante :
- Contrainte simple selon l’attraction sans compensation des totaux marginaux
- Fonction d’utilité Combiné (exponentielle)
- Paramètre a = 1, b = 0,5 et c = -1
- kj = 1 pour tous les j
Il en résulte comme valeurs fonctionnelles de l’utilité f(Uij)
Zone 1 2 3 4
1 0,37 0,43 0,41 0,39
2 0,41 0,43 0,37 0,43
3 0,41 0,39 0,41 0,43
4 0,37 0,43 0,41 0,39
et donc 
F11 = 4,71
Après le calcul des 15 autres équations, on obtient la matrice :
- Résultats
* Numéros de zone
1 2 3 4
* 50.00 10.00 19.99 19.99
* 1 9.68
4.71 1.03 2.04 1.90
* 2 20.47
10.58 2.06 3.64 4.19
* 3 31.09
15.87 2.80 6.13 6.29
* 4 38.74
18.84 4.11 8.18 7.61
* 99.98
Les valeurs obtenues pour les trafics attirés sont très proches des valeurs souhaitées, mais pas celles obtenues pour les trafics émis. Cette circonstance est caractéristique de telles formules de distribution. Les totaux atteints de manière satisfaisante sont soit les totaux d’émission soit les totaux d’attraction. Pour ajuster les deux totaux le plus précisément possible, il faut recourir à une procédure de « compensation des totaux marginaux ». On peut recourir à la fonction de projection à contrainte double (procédure Multi) (Projeter).
Exemple 4 : modèle gravitaire à contrainte simple selon l’attraction, avec compensation des totaux marginaux
On souhaite maintenant calculer la distribution des déplacements de l’exemple 3 (Exemple 3 : modèle gravitaire à contrainte simple selon l’attraction, sans compensation des totaux marginaux) en utilisant une procédure de compensation des totaux marginaux (Procédure Multi).
- Fichier d’entrée impédances
* Numéros de zone
1 2 3 4
1.00 0.50 0.33 0.25
0.33 0.50 1.00 0.50
0.33 0.25 0.33 0.50
1.00 0.50 0.33 0.25
* Zone Emission Attraction
1 10 50
2 20 10
3 30 20
4 40 20
On spécifie les paramètres de la manière suivante :
- Contrainte simple selon l’émission et compensation des totaux marginaux avec procédure Multi
- Fonction d’utilité Combiné (exponentielle)
- Paramètre a = 1, b = 0,5 et c = -1
- Total normalisé à la moyenne des totaux
- Nb. max. d’itérations = 10, Facteur de qualité = 3
- Résultats
* Numéros de zone
1 2 3 4
* 50.00 10.01 20.00 20.00
* 1 10.01
4.87 1.06 2.11 1.97
* 2 20.00
10.34 2.01 3.55 4.10
* 3 30.00
15.32 2.70 5.91 6.07
* 4 40.00
19.47 4.24 8.43 7.86
* 100.01
