Le calcul de l’état d’équilibre peut être formulé en tant que problème d’optimisation avec une fonction objectif convexe et des contraintes annexes linéaires de la manière suivante :
Le constant suivant s’applique :
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E |
Ensemble de tous les arcs dans le réseau et a un de ces arcs |
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qa |
Charge de l’élément a |
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Ra(x) |
Temps généralisé de l’élément a avec une charge x (monotone croissante sur x) |
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qij |
Demande totale (nombre de déplacements) de la zone i vers la zone j |
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qijr |
Charge de l’itinéraire r de la zone i vers la zone j |
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Pijr |
Itinéraire r de la zone i vers la zone j |
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E+u |
Ensemble des arcs entrants au nœud u |
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E-u |
Ensemble des arcs sortants au nœud u |
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Du |
Trafic attiré du nœud u |
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Ou |
Trafic émis du nœud u |
Dans Visum, tous les tronçons, mouvements au nœud et connecteurs sont des arcs et les zones et nœuds de réseau sont des nœuds.
La fonction objectif exprime que la somme des temps généralisés de tous les arcs est minimisée. Les contraintes annexes ont la signification suivante (de haut en bas) :
- Toutes les charges de chemins doivent être positives.
- L’addition des charges de tous les chemins de la zone i vers j doit correspondre à la demande totale de i vers j.
- La charge d’un arc résulte de la somme des charges de tous les chemins contenant cet arc.
- Les flux doivent être conservés à chaque nœud. Lorsqu’un nœud correspond à une zone, la différence entre les charges de tous les arcs entrants et les charges de tous les arcs sortants doit correspondre exactement à la différence entre le trafic attiré et le trafic émis. Les nœuds de réseau ne présentent pas de trafic émis et attiré, la différence doit donc être nulle.
Le problème d’optimisation n’est pas résolu directement en raison de la fonction objectif non linéaire mais de manière itérative. En raison de la monotonie de la fonction temps généralisé, le minimum est atteint du fait qu’en partant d’une solution initiale, la charge est transférée entre les chemins alternatifs d’une relation i-j de sorte que le temps généralisé soit identique sur les chemins.
Pendant l’affectation à l’équilibre, les étapes figurant dans l’Illustration 96 sont exécutées.
Illustration 96 : Déroulement de l’affectation à l’équilibre
En partant d’un résultat d’affectation provenant d’une affectation antérieure ou d’une affectation par tranches (par défaut) comme solution initiale, l’état d’équilibre est atteint à l’aide d’une itération à plusieurs étapes. Dans l’étape d’itération interne, les itinéraires sont équilibrés par paires pour chaque relation O-D par transfert des véhicules. Ces étapes d’itération sont effectuées pour toutes les relations jusqu’à ce que toutes les relations soient équilibrées. Chaque transfert de véhicules d’un itinéraire à un autre se répercute immédiatement sur les temps généralisés des éléments de réseau traversés.
Dans l’étape d’itération externe, le programme vérifie s’il est possible de déterminer de nouveaux itinéraires avec un temps généralisé plus faible du fait de l’état de réseau actuel. Si tel est le cas pour une relation au moins, un nouvel équilibrage du réseau doit être calculé.
On obtient le critère d’interruption suivant. L’équilibre est atteint lorsque dans l’itération interne, aucun transfert de véhicule n’est plus nécessaire et lorsqu’aucun nouvel itinéraire n’est déterminé dans l’étape d’itération externe suivante.
Le critère de convergence Écart peut également servir de critère d’interruption.
Équilibrage réseau
Le déroulement de l’équilibrage est représenté dans l’Illustration 97.
Illustration 97 : Déroulement de l’équilibrage du réseau pour une relation O-D lors d’une affectation à l’équilibre
Critère d’interruption
Visum interrompt le processus itératif d’équilibrage lorsqu’une des conditions suivantes est remplie :
- L’équilibre est atteint, c.-à-d. que le seuil autorisé pour l’écart des temps généralisés d’itinéraires comparés par paires ou une valeur inférieure a été atteint.
- Le nombre d’itérations externes spécifié a été atteint sans parvenir à l’équilibre (dans les réseaux fortement saturés, il peut arriver qu’on n’atteigne pas l’état d’équilibre avec les écarts autorisés configurés).
- Le critère de convergence Écart max. est atteint ou prend une valeur inférieure.
- Dans le cas d’une affectation à l’équilibre avec calcul d’encombrement, un écart maximal ou une valeur inférieure a été atteint (Modèle d’encombrement). La procédure est interrompue lorsque les valeurs de charge de congestion et les temps d’attente en congestion de deux étapes itérations externes ne diffèrent plus au maximum que de la valeur Écart relatif max. configurée.
